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こんにちは,aiです.

2009/11/8(日)
「3 まとめ」を書き忘れてましたので追記しました.すみません.
2009/11/9(月)
「四元数」の記述について嘘がありました.大変申し訳ありません.



「数学はコーヒーで割って」なので,たまには数学の記事でも…


こういうのは「先生役」と「聞き手役」を用意して対話的に書くとわかりやすくなりやすいです.
でも,aithemathはそのような書き方に慣れていません.
聞き手役の「キャラ設定」や,「伝えたいことを対話的な表現に直す」こと自体に時間が割かれてしまいそうです.
なので今日は一人で,つまり「講義」形式で書きます.


▼続きを読む▼

【i^jさんへ(on 虚数って何?)】
こんにちは.

> 1/(1+2^(1/3)+2^(2/3)+3^(1/3)+5^(1/3)+ 6^(1/3))
> (の分母の有理化をどうぞ.此処にその顛末を記載ください)

わかりません.教えてください.

この記事は
http://pract1.blog21.fc2.com/blog-entry-202.html
http://pract1.blog21.fc2.com/blog-entry-203.html
http://pract1.blog21.fc2.com/blog-entry-204.html
の3部作となっておりますのでそちらもどうぞ.
【実際には  虚際には;】
√2

1/(1+2^(1/3)+2^(2/3)+3^(1/3)+5^(1/3)+ 6^(1/3))
(の分母の有理化をどうぞ.此処にその顛末を記載ください)

はカンゼンに明らかな何かと見なすのに, √(-1) の前ではシリゴミをする多くの人が

確かにイマス。前者は物理空間の中の何とか眼で見ることが出来るのに, 後者はそう

でないと, その人たちは考えるのです。実際には, √(-1) の方がずっと単純な概念

なのですが。<----- だ そう デス。

Edward Charles Titchmarsh (1st June, 1899--18th January

1963)
【月夜さんへ(on 虚数って何?)】
こんにちは,aithemathです.

例えば,携帯電話やPCを作るためには電気や電子工学の知識が必要です.
「虚数」は物理や工学の計算の道具になります.

博士の愛した数式の記事を書いたときに、卓さんもそんなコメントをくれたけど、ちょっぴりでもそれがどういうことなのか知りたいです。なんて書いたら、もっと自分で勉強せい!と言われそうですが・・・毎日携帯を使っているのにちっとも仕組みがわかってないというのは悔しいね~

携帯で通話やメールが出来るまでに必要な知識を100個とします.
通信技術の仕組みの知識(ソフト面)や,そもそも携帯電話というモノを作る技術(ハード面)など種類がたくさんありますが,その中のごく一部に「虚数」が使われているだけです.
一口に「携帯」といってもさまざまな専門分野の人(仮に100分野からそれぞれ1人ずつとして)が携わっているわけで,専門の人でも自身の守備範囲以外の99個の知識などはさっぱり知らないのです.

(複素数上での四則演算)誰がやっても答えは定まるから虚数や複素数は、今の私には座標に書けないけど誰にとっても同じひとつのもの?数?点を指しているということだと思うんです。

数学ではそのような「数」や「点」を総称して「ベクトル」といいます.
数として書けば,a+biです.
点として書けば,(a, b)です.
ベクトルとして書けば,(a, b)です.
要素が2個なので,2次元ベクトルといいます.n個あればn次元ベクトルといいます.
(特に,2次元ベクトルは平面上の点の座標と全く同じ表記になります)

ひとつだけ大事なことは,四元数は「複素数」ではないということです.
(「複素数」が高々「2本の直線」なのに対して,「四元数」は「4本の直線」なのだから「四元数」は「複素数ではない」というのは当たり前ですね)

悔しいけどわかりません。

すみませんでした.誤りでした.
記事内に修正しました.

つまり「○○」という"概念"が無いと,「i」を理解するのは難しいのです.
そして,2009年においては「○○」というものは「まだ存在していない!」と私は思っています.

なるほど。

これも少し誤りですね.
前を「+」,後ろを「-」とすれば,左が「i」ですよね.
ボール投げなども,「+と-」だけじゃなくて,「i」も導入したら面白いと思うんですけどね~.
そうすれば変に,同心円を書かなくてすむし,記録も正確になります.

きっとそうだろうなと思うのですが・・・そういうことを《歴史は繰り返す》というのかな?歴史ってなんとなく人間の意識で評価がころころ変わる学問だけど、数学は人間の意識を超越してるようなイメージがあるんだけど・・・

「歴史」という表現を避けるならば,「過去の出来事は繰り返す」でももちろんいいです.
また,数学は人間が作ったものです.決して超えていません.
「日常に普通にあるけど掴めない何か」正確に掴もうとして,数学というものはあるのです.
「何か」の一番わかりやすい例は「無限」でしょうか.

例えば,偶数と奇数はどちらが多いのかとか,自然数と偶数はどちらが多いのかとか,これらは直感では正確につかめないのです.(直感では,前者は「同じ」,後者は「自然数の方が多い」ですが,正確に掴むと前者は「同じ」,後者も「同じ」です.)

「図」はきれいやね~ラテフでしたっけ?
学生のころ「*次関数」のグラフを書くのが上手だったけど、PCで勝手に書ける時代になったら、手書きが全然役立たんね~

TeX を覚えていたのですか?ありがとうございます.
ただ,残念ながらこれはペイントで描いた図です.
TeX で図を描くのは難しいです.

その場で教えるときや,自身が計算しているときは大抵手書きなので,手書きの図が綺麗というのは大変役に立ちます.

虚数ですが、私は、imaginary numberを"想像数"なんて訳さなくて良かったと思っています。すべての数(すう)が想像みたいなところがあるので、コイツだけを"想像数"なんてしたら余計に文系の方々が数学を拒絶するでしょうから。どうせ数学者の空想でしょ?って。
訳といえば、有理数(rational:理性のある number)の方が誤訳という意見が強いです。ratio(比率、対比)+nalと考えて「比数」なんてしたらいいと思います。有理数とはp,qを整数としてp/qの形に書けることが定義みたいな感じなので。すると無理数が「非比数」に? 「無」を生かせば「無比数」ですが、なんだかかゆい所に手が届きそうな名前です。
今でも同じ考えですか?

「すべての数が想像」などちょっと補足されるべき箇所はありますが,大体は同じです.

(デジャヴ)未来に虚数の有用性が分かった人間には、昔、マイナスのときのも同じようなことがあったんだよ!という意味で。

そういうことです.

不思議の国のアリスを書いた著者は数学者でしょ!
当時産業革命のころのイギリス。
「アリス」の中で、時計のせいで時間に管理される人間のことを皮肉ってるけど(時計のなかったころは太陽の出入りで仕事できたよな~)・・・空間まで管理させるということは認識されていなかった。
今は、携帯電話のせいで、労働者は時間だけでなく、場所も管理される・・・どこにいても何をしているか見張ることが可能という意味で(昔は昼間に映画見ていてもばれなかったよな~)
できるようになったら初めて、その効用と弊害がわかるようになる・・・そういうことでしょ!
たまに頭のするどいハミルトンみたいな人は携帯がないときから、空間管理されるとうことは**とかわかるけど凡人にはわからない。
全然話が逸れてるようだったらすみません。


数学者は最新の研究をしているときはそれがどう日常で使われるかとかそんなことは考えていません.
その成果が日常レベルまで下りてくるのは100年もあとなので…
【デジャヴの意味】
昨日コメントを書いているときはなぜか講義を聴く「受身な」生徒の立場しか考えていませんでした。

私は、お金の概念がないと「マイナス」の効用がわからないみたいな議論を聞いたことがあったのですが・・・それを全く聞いたことのない生徒さんがいたとしたら、

先にその説明を聞いて、いったんイメージを描いてから、次に「虚数」の話に移る説明の仕方が・・・

デジャヴなんですね~

未来に虚数の有用性が分かった人間には、昔、マイナスのときのも同じようなことがあったんだよ!という意味で。

違ってたら墓穴を掘ることになりますが・・・



不思議の国のアリスを書いた著者は数学者でしょ!

当時産業革命のころのイギリス。

「アリス」の中で、時計のせいで時間に管理される人間のことを皮肉ってるけど(時計のなかったころは太陽の出入りで仕事できたよな~)・・・空間まで管理させるということは認識されていなかった。

今は、携帯電話のせいで、労働者は時間だけでなく、場所も管理される・・・どこにいても何をしているか見張ることが可能という意味で(昔は昼間に映画見ていてもばれなかったよな~)

できるようになったら初めて、その効用と弊害がわかるようになる・・・そういうことでしょ!

たまに頭のするどいハミルトンみたいな人は携帯がないときから、空間管理されるとうことは**とかわかるけど凡人にはわからない。

全然話が逸れてるようだったらすみません。
【ゆうライの感想はちょっと待ってください。】
「虚数」と聞いて「i」を思い浮かべる人.
「iを2乗すると-1になる」ということを知っている人.
だけど,「で,結局,何?」と言う人.
今日はそんな人に捧げる講義.

まるで私と思って一生懸命読みましたが、全部読んでもあんまりわからなかった。

「先生役」と「聞き手役」
これは、うまく書けたら確かにわかりやすいのかもしれませんが・・・論語じゃないけど質問を上手に出さないと「だれる」よね?

「講義」形式で
対話より少しは易しいかもしれませんが、それでもやっぱり難しいことには変わりないです。よくやるね~

マイナスの意味を昔の人は理解してなかったけど、現代では恩恵まで受けているヒトがほとんどということで、数の認識にも進歩?があるということは何となくわかります。

ただし,「虚数」の日常での直接的な恩恵は「まだない」です.
そうなの?

例えば,携帯電話やPCを作るためには電気や電子工学の知識が必要です.
「虚数」は物理や工学の計算の道具になります.

博士の愛した数式の記事を書いたときに、卓さんもそんなコメントをくれたけど、ちょっぴりでもそれがどういうことなのか知りたいです。なんて書いたら、もっと自分で勉強せい!と言われそうですが・・・毎日携帯を使っているのにちっとも仕組みがわかってないというのは悔しいね~

CD,携帯電話やPC,iPod,カーナビなどです.
携帯以外もあるのか?

aを実部,bを虚部
・2+3iは虚数であり複素数でもある.(a=2, b=3だから)
・4-iは虚数であり複素数でもある.(a=4, b=-1だから)
・3.7iは虚数であり複素数でもある.(a=0, b=3.7だから)
・8は虚数でないが複素数である.(a=8, b=0だから)

これはゆっくり考えたらわかる。

(注)四則演算は出来ます.
ということは、誰がやっても答えは定まるから虚数や複素数は、今の私には座標に書けないけど誰にとっても同じひとつのもの?数?点を指しているということだと思うんです。

>ハミルトン(1805-1865,イギリス)です.
19世紀に既に考えていたヒトがいるんですね~

ひとつだけ大事なことは,四元数は「複素数」ではないということです.
(「複素数」が高々「2本の直線」なのに対して,「四元数」は「4本の直線」なのだから「四元数」は「複素数ではない」というのは当たり前ですね)

悔しいけどわかりません。

「物々交換の時代」が終わって「お金の時代」になった
つまり「お金」という"概念"が無いと,「負の数」を理解するのは難しいのです.

そのとおりだと思います。

つまり「○○」という"概念"が無いと,「i」を理解するのは難しいのです.
そして,2009年においては「○○」というものは「まだ存在していない!」と私は思っています.

なるほど。

すなわち,「iや虚数がわからない」というのは「自然」なことなのです.
また,「だからと言って,iが『存在しない数』というわけではない」し,「10年後や100年後には今の『負の数』くらい当たり前

きっとそうだろうなと思うのですが・・・そういうことを《歴史は繰り返す》というのかな?歴史ってなんとなく人間の意識で評価がころころ変わる学問だけど、数学は人間の意識を超越してるようなイメージがあるんだけど・・・



「図」はきれいやね~ラテフでしたっけ?
学生のころ「*次関数」のグラフを書くのが上手だったけど、PCで勝手に書ける時代になったら、手書きが全然役立たんね~

「複素平面」は以前は高校数学の範囲だったそうです
覚えてないな~

のんびりのキーワードは《dejavu》.
どこがデジャヴだったのかな?

2年前の先生の講義のお言葉の一部・・・

虚数ですが、私は、imaginary numberを"想像数"なんて訳さなくて良かったと思っています。すべての数(すう)が想像みたいなところがあるので、コイツだけを"想像数"なんてしたら余計に文系の方々が数学を拒絶するでしょうから。どうせ数学者の空想でしょ?って。

今でも同じ考えですか?

訳といえば、有理数(rational:理性のある number)の方が誤訳という意見が強いです。ratio(比率、対比)+nalと考えて「比数」なんてしたらいいと思います。有理数とはp,qを整数としてp/qの形に書けることが定義みたいな感じなので。すると無理数が「非比数」に? 「無」を生かせば「無比数」ですが、なんだかかゆい所に手が届きそうな名前です。

これはなんとなく私もわかるんですが・・・次回講義予定あるんですか(笑)

まとめ:虚数が携帯を作るのに(通信するのに?)に役立つというプロセスみたいなことが知りたいです。

長々とすみません。

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「フラペチーノ」じゃなくて,
「フラパツィーノ」と言うとかっくいい.



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